MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫0πxsin⁡x dx\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Aplicăm integrarea prin părți. Alegem u=xu = x și dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx, deci du=dxdu = dx și v=−cos⁡xv = -\cos x. Atunci ∫xsin⁡x dx=−xcos⁡x+∫cos⁡x dx=−xcos⁡x+sin⁡x+C\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C.
23 puncte
Evaluăm integrala definită: ∫0πxsin⁡x dx=[−xcos⁡x+sin⁡x]0π\int_{0}^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{0}^{\pi}.
33 puncte
Calculăm valorile: pentru x=πx = \pi, −πcos⁡π+sin⁡π=−π(−1)+0=π-\pi \cos \pi + \sin \pi = -\pi (-1) + 0 = \pi; pentru x=0x = 0, −0⋅cos⁡0+sin⁡0=0-0 \cdot \cos 0 + \sin 0 = 0. Deci, integrala este π−0=π\pi - 0 = \pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.