MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Determinați aria domeniului plan mărginit de curbele y=xy = \sqrt{x}, y=2−xy = 2-x și axa OxOx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinăm punctele de intersecție ale curbelor. Intersecția dintre y=xy = \sqrt{x} și y=2−xy = 2-x: x=2−x⇒x=1,y=1\sqrt{x} = 2-x \Rightarrow x = 1, y=1. Intersecția cu axa OxOx: pentru y=xy=\sqrt{x}, y=0⇒x=0y=0 \Rightarrow x=0; pentru y=2−xy=2-x, y=0⇒x=2y=0 \Rightarrow x=2.
23 puncte
Stabilim limitele de integrare și funcțiile. Domeniul este între x=0x=0 și x=2x=2. Pentru x∈[0,1]x \in [0,1], marginea superioară este y=2−xy=2-x și marginea inferioară este y=xy=\sqrt{x}. Pentru x∈[1,2]x \in [1,2], marginea superioară este y=2−xy=2-x și marginea inferioară este y=0y=0.
33 puncte
Scriem integrala pentru arie: A=∫01[(2−x)−x] dx+∫12[(2−x)−0] dxA = \int_{0}^{1} [(2-x) - \sqrt{x}] \, dx + \int_{1}^{2} [(2-x) - 0] \, dx.
42 puncte
Calculăm integralele: ∫01(2−x) dx=[2x−x22]01=2−12=32\int_{0}^{1} (2-x) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}, ∫01x dx=∫01x1/2 dx=[23x3/2]01=23\int_{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}, deci prima integrală este 32−23=56\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}. A doua integrală: ∫12(2−x) dx=[2x−x22]12=(4−2)−(2−12)=2−32=12\int_{1}^{2} (2-x) \, dx = \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = (4-2) - (2- \frac{1}{2}) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}. Deci A=56+12=43A = \frac{5}{6} + \frac{1}{2} = \frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.