MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a suprafeței plane mărginite de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=xy = x pentru x∈[0,1]x \in [0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se găsesc punctele de intersecție ale curbelor rezolvând x=x\sqrt{x} = x, de unde x=0x=0 și x=1x=1. Pe intervalul [0,1][0,1], x≥x\sqrt{x} \geq x, deci în formula volumului, raza exterioară este x\sqrt{x} și raza interioară este xx.
24 puncte
Volumul este dat de V=π∫01[(x)2−(x)2]dx=π∫01(x−x2)dxV = \pi \int_{0}^{1} \left[ (\sqrt{x})^2 - (x)^2 \right] dx = \pi \int_{0}^{1} (x - x^2) dx.
33 puncte
Se calculează integrala: π[x22−x33]01=π(12−13)=π6\pi \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{\pi}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.