MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteLogaritmiTrigonometrie
Să se demonstreze că ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx=π8ln⁡2\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se face substituția x=tan⁡tx = \tan t, cu dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt. Limitele devin: când x=0x=0, t=0t=0; când x=1x=1, t=π4t=\frac{\pi}{4}. Integrala se transformă în I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2tsec⁡2t dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dtI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt.
24 puncte
Se consideră substituția u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t și se calculează: I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡(π4−u)) du=∫0π4ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u) du=∫0π4ln⁡(21+tan⁡u) du=∫0π4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u)) du=π4ln⁡2−II = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1+\tan\left(\frac{\pi}{4} - u\right)\right) \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1 + \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}\right) \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1+\tan u)) \, du = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I.
33 puncte
Din ecuația 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2, se obține I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2, ceea ce demonstrează egalitatea dorită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.