MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Calculează volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei OxOx a graficului funcției f(x)=xln⁡xf(x) = \sqrt{x} \ln x pentru x∈[1,e]x \in [1, e].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Volumul este dat de V=π∫1e[f(x)]2dx=π∫1e(xln⁡x)2dx=π∫1ex(ln⁡x)2dxV = \pi \int_{1}^{e} [f(x)]^2 dx = \pi \int_{1}^{e} (\sqrt{x} \ln x)^2 dx = \pi \int_{1}^{e} x (\ln x)^2 dx.
25 puncte
Pentru a calcula ∫x(ln⁡x)2dx\int x (\ln x)^2 dx, folosim integrarea prin părți. Fie u=(ln⁡x)2u = (\ln x)^2 și dv=xdxdv = x dx, deci du=2ln⁡x⋅1xdx=2ln⁡xxdxdu = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2 \ln x}{x} dx și v=x22v = \frac{x^2}{2}. Atunci ∫x(ln⁡x)2dx=x22(ln⁡x)2−∫x22⋅2ln⁡xxdx=x22(ln⁡x)2−∫xln⁡xdx\int x (\ln x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2 \ln x}{x} dx = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \int x \ln x dx. Apoi calculăm ∫xln⁡xdx\int x \ln x dx cu o altă integrare prin părți: u=ln⁡xu = \ln x, dv=xdxdv = x dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x22v = \frac{x^2}{2}. Obținem ∫xln⁡xdx=x22ln⁡x−∫x22⋅1xdx=x22ln⁡x−12∫xdx=x22ln⁡x−x24+C\int x \ln x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. Înlocuind înapoi, ∫x(ln⁡x)2dx=x22(ln⁡x)2−(x22ln⁡x−x24)+C=x22(ln⁡x)2−x22ln⁡x+x24+C\int x (\ln x)^2 dx = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \left( \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right) + C = \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} + C.
33 puncte
Evaluăm integrala definită: π[x22(ln⁡x)2−x22ln⁡x+x24]1e\pi \left[ \frac{x^2}{2} (\ln x)^2 - \frac{x^2}{2} \ln x + \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e}. Calculăm la limite: pentru x=ex=e, e22(1)2−e22(1)+e24=e22−e22+e24=e24\frac{e^2}{2} (1)^2 - \frac{e^2}{2} (1) + \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{2} + \frac{e^2}{4} = \frac{e^2}{4}; pentru x=1x=1, 12(0)2−12(0)+14=14\frac{1}{2} (0)^2 - \frac{1}{2} (0) + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. Deci V=π(e24−14)=π4(e2−1)V = \pi \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{4} (e^2 - 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.