MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieLogaritmi
Să se arate că ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx=π8ln⁡2\int_{0}^{1} \frac{\ln(1 + x)}{1 + x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se folosește substituția x=tan⁡tx = \tan t. Atunci dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt, iar limitele de integrare devin: când x=0x=0, t=0t=0; când x=1x=1, t=π4t = \frac{\pi}{4}. Integrala devine I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2tsec⁡2t dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dtI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1 + \tan t)}{1 + \tan^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + \tan t) \, dt, deoarece 1+tan⁡2t=sec⁡2t1 + \tan^2 t = \sec^2 t.
21 punct
Se consideră substituția u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t.
32 puncte
Cu u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t, avem du=−dtdu = -dt, iar limitele devin: când t=0t=0, u=π4u=\frac{\pi}{4}; când t=π4t=\frac{\pi}{4}, u=0u=0. Atunci I=∫π40ln⁡(1+tan⁡(π4−u))(−du)=∫0π4ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u) duI = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \ln(1 + \tan(\frac{\pi}{4} - u)) (-du) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1 + \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}\right) \, du.
42 puncte
Se simplifică expresia logaritmică: ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u)=ln⁡(1+tan⁡u+1−tan⁡u1+tan⁡u)=ln⁡(21+tan⁡u)=ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u)\ln\left(1 + \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}\right) = \ln\left(\frac{1 + \tan u + 1 - \tan u}{1 + \tan u}\right) = \ln\left(\frac{2}{1 + \tan u}\right) = \ln 2 - \ln(1 + \tan u).
52 puncte
Înlocuind, obținem I=∫0π4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u)) du=ln⁡2⋅π4−II = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1 + \tan u)) \, du = \ln 2 \cdot \frac{\pi}{4} - I, deoarece ∫0π4ln⁡(1+tan⁡u) du=I\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1 + \tan u) \, du = I (prin schimbarea de variabilă).
61 punct
Din ecuația 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2, rezultă I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.