GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definiteDerivateLogaritmi
Demonstrați că ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx=π8ln⁡2\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Definiți funcția I(a)=∫01ln⁡(1+ax)1+x2 dxI(a) = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+ax)}{1+x^2} \, dx pentru a∈[0,1]a \in [0,1].
23 puncte
Diferențiați sub semnul integral folosind regula Leibniz: I′(a)=∫01x(1+ax)(1+x2) dxI'(a) = \int_{0}^{1} \frac{x}{(1+ax)(1+x^2)} \, dx.
33 puncte
Descompuneți x(1+ax)(1+x2)\frac{x}{(1+ax)(1+x^2)} în fracții simple și integrați pentru a obține I′(a)=π4⋅11+a2−ln⁡(1+a)1+a2I'(a) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{1+a^2} - \frac{\ln(1+a)}{1+a^2}.
42 puncte
Integrați I′(a)I'(a) de la 0 la 1: I(1)−I(0)=∫01I′(a) daI(1) - I(0) = \int_{0}^{1} I'(a) \, da. Folosind I(0)=0I(0)=0 și calculând ∫01(π4⋅11+a2−ln⁡(1+a)1+a2)da\int_{0}^{1} \left( \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{1+a^2} - \frac{\ln(1+a)}{1+a^2} \right) da, obțineți I(1)=π8ln⁡2I(1) = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.