MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Calculați aria regiunii mărginite de curbele y=x2y = x^2 și x=y2x = y^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Găsiți punctele de intersecție ale curbelor y=x2y = x^2 și x=y2x = y^2. Rezolvând sistemul {y=x2x=y2\begin{cases} y = x^2 \\ x = y^2 \end{cases}, obținem x=x4x = x^4, deci x(x3−1)=0x(x^3 - 1) = 0, cu soluțiile x=0x = 0 și x=1x = 1. Punctele de intersecție sunt (0,0)(0,0) și (1,1)(1,1).
23 puncte
Pe intervalul [0,1][0,1], curba x=y2x = y^2 este echivalentă cu y=xy = \sqrt{x} (pentru x≥0x \geq 0), și y=x2y = x^2 este mai jos decât y=xy = \sqrt{x}. Aria se calculează cu formula ∫ab(f(x)−g(x)) dx\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx, unde f(x)=xf(x) = \sqrt{x} și g(x)=x2g(x) = x^2.
33 puncte
Calculați integrala ∫01(x−x2) dx=∫01(x1/2−x2) dx\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} (x^{1/2} - x^2) \, dx.
42 puncte
Evaluați integrala: [23x3/2−13x3]01=(23⋅13/2−13⋅13)−(0)=23−13=13\left[ \frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{1}{3} x^3 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} \cdot 1^{3/2} - \frac{1}{3} \cdot 1^3 \right) - (0) = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. Astfel, aria regiunii este 13\frac{1}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.