MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Calculați integrala definită I=∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm că integrala poate fi abordată folosind proprietatea ∫abf(x) dx=∫abf(a+b−x) dx\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx. Aplicăm pentru a=0a=0, b=π2b=\frac{\pi}{2}, deci I=∫0π2sin⁡(π2−x)sin⁡(π2−x)+cos⁡(π2−x) dx=∫0π2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dxI = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin(\frac{\pi}{2}-x) + \cos(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx.
23 puncte
Adunăm cele două expresii pentru II: 2I=∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx+∫0π2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dx=∫0π2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx=∫0π21 dx2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx.
33 puncte
Calculăm integrala: ∫0π21 dx=[x]0π2=π2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}.
42 puncte
Deci 2I=π22I = \frac{\pi}{2}, adică I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.