MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă ff pe intervalul [0,a][0,a], are loc egalitatea ∫0af(x) dx=∫0af(a−x) dx\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx. Apoi, folosind această proprietate, calculați integrala ∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dx\int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru demonstrație, se consideră substituția u=a−xu = a - x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar când x=0x=0, u=au=a, când x=ax=a, u=0u=0. Astfel, ∫0af(x) dx=∫a0f(a−u)(−du)=∫0af(a−u) du=∫0af(a−x) dx\int_0^a f(x) \, dx = \int_a^0 f(a-u) (-du) = \int_0^a f(a-u) \, du = \int_0^a f(a-x) \, dx, unde în ultima egalitate s-a schimbat variabila de integrare.
23 puncte
Se notează I=∫0π/2sin⁡xsin⁡x+cos⁡x dxI = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx. Aplicând proprietatea demonstrată cu a=π/2a = \pi/2 și f(x)=sin⁡xsin⁡x+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}, obținem că I=∫0π/2sin⁡(π/2−x)sin⁡(π/2−x)+cos⁡(π/2−x) dx=∫0π/2cos⁡xcos⁡x+sin⁡x dxI = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(\pi/2 - x)}{\sin(\pi/2 - x) + \cos(\pi/2 - x)} \, dx = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{\cos x + \sin x} \, dx.
33 puncte
Adunând cele două expresii pentru II, avem 2I=∫0π/2sin⁡x+cos⁡xsin⁡x+cos⁡x dx=∫0π/21 dx=π22I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2}. Deci I=π4I = \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.