GreuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

GreuIntegrale definiteTrigonometrieLogaritmi
Să se calculeze integrala definită I=∫01ln⁡(1+x)1+x2dxI = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se face substituția x=tan⁡tx = \tan t, cu dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt. Atunci I=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2tsec⁡2t dt=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡t) dtI = \int_{0}^{\pi/4} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan t) \, dt.
24 puncte
Se consideră J=∫0π/4ln⁡(1+tan⁡(π/4−t)) dtJ = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1+\tan(\pi/4 - t)) \, dt. Folosind identitatea tan⁡(π/4−t)=1−tan⁡t1+tan⁡t\tan(\pi/4 - t) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}, obținem J=∫0π/4ln⁡(21+tan⁡t)dt=∫0π/4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡t)) dt=π4ln⁡2−IJ = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1+\tan t}\right) dt = \int_{0}^{\pi/4} (\ln 2 - \ln(1+\tan t)) \, dt = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I.
32 puncte
Prin substituția u=π/4−tu = \pi/4 - t în JJ, se arată că J=IJ = I. Astfel, I=π4ln⁡2−II = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I, de unde 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2.
41 punct
Se concluzionează că I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.