MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei Ox a regiunii cuprinse între curbele y=sin⁡xy = \sin x și y=cos⁡xy = \cos x pentru x∈[0,π4]x \in \left[0, \frac{\pi}{4}\right].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți formula volumului folosind metoda discurilor: V=π∫0π4[(cos⁡x)2−(sin⁡x)2] dxV = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[ (\cos x)^2 - (\sin x)^2 \right] \, dx.
24 puncte
Simplificați integrandul aplicând identitatea trigonometrică: cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x, deci V=π∫0π4cos⁡2x dxV = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx.
33 puncte
Evaluați integrala: V=π[sin⁡2x2]0π4=π⋅12=π2V = \pi \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \pi \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.