MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Calculați integrala definită I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm proprietatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx cu a=πa=\pi. Obținem I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
23 puncte
Adunăm cele două expresii pentru II: I+I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxI + I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx, deci 2I=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
33 puncte
Calculăm ∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx folosind substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx. Schimbăm limitele: când x=0x=0, u=1u=1; când x=πx=\pi, u=−1u=-1. Integrala devine −∫1−1du1+u2=∫−11du1+u2=2∫01du1+u2=2[arctan⁡u]01=2⋅π4=π2-\int_{1}^{-1} \frac{du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = 2 \int_{0}^{1} \frac{du}{1+u^2} = 2 [\arctan u]_{0}^{1} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.
42 puncte
Înlocuim în 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.