MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteLogaritmiTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx\int_{0}^{1} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Aplicăm substituția x=tan⁡tx = \tan t, cu t∈[0,π4]t \in [0, \frac{\pi}{4}], astfel dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt și integrala devine ∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2tsec⁡2t dt=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dt\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \sec^2 t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt.
22 puncte
Notăm I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dtI = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt.
33 puncte
Folosim schimbarea de variabilă u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t; atunci du=−dtdu = -dt, iar când t=0t = 0, u=π4u = \frac{\pi}{4}, și când t=π4t = \frac{\pi}{4}, u=0u = 0. Obținem I=∫π40ln⁡(1+tan⁡(π4−u))(−du)=∫0π4ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u) du=∫0π4ln⁡(21+tan⁡u) du=∫0π4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u)) duI = \int_{\frac{\pi}{4}}^{0} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4} - u)) (-du) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right) \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) \, du = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1+\tan u)) \, du.
43 puncte
Din aceasta, avem I=π4ln⁡2−II = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I, deci 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2, și astfel I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2. Prin urmare, integrala inițială este π8ln⁡2\frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.