MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Calculează integrala definită ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că putem folosi substituția t=π−xt = \pi - x. Atunci dx=−dtdx = -dt, și când x=0x = 0, t=πt = \pi; când x=πx = \pi, t=0t = 0. Integrala devine I=∫π0(π−t)sin⁡(π−t)1+cos⁡2(π−t)(−dt)I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{1 + \cos^2(\pi - t)} (-dt).
24 puncte
Simplificăm folosind identitățile trigonometrice: sin⁡(π−t)=sin⁡t\sin(\pi - t) = \sin t și cos⁡(π−t)=−cos⁡t\cos(\pi - t) = -\cos t, deci cos⁡2(π−t)=cos⁡2t\cos^2(\pi - t) = \cos^2 t. Atunci I=∫0π(π−t)sin⁡t1+cos⁡2t dtI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1 + \cos^2 t} \, dt.
33 puncte
Adunăm expresia originală și cea obținută: 2I=∫0ππsin⁡t1+cos⁡2t dt2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin t}{1 + \cos^2 t} \, dt. Calculăm J=∫0πsin⁡t1+cos⁡2t dtJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin t}{1 + \cos^2 t} \, dt prin substituția u=cos⁡tu = \cos t, du=−sin⁡tdtdu = -\sin t dt, deci J=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}. Atunci 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.