MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeLogaritmi
Determinați aria mărginită de graficele funcțiilor f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1) și g(x)=xg(x) = x pe intervalul [0,1][0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificați că f(x)=ln⁡(x+1)f(x) = \ln(x+1) și g(x)=xg(x) = x se intersectează la x=0x=0 și pe [0,1][0,1], g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x), deci aria este ∫01(g(x)−f(x))dx\int_{0}^{1} (g(x) - f(x)) dx.
24 puncte
Scrieți integrala pentru arie: A=∫01(x−ln⁡(x+1))dxA = \int_{0}^{1} (x - \ln(x+1)) dx.
33 puncte
Calculați integrala: ∫01xdx=[x22]01=12\int_{0}^{1} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, iar ∫01ln⁡(x+1)dx\int_{0}^{1} \ln(x+1) dx se calculează prin integrare prin părți: =[(x+1)ln⁡(x+1)−x]01=(2ln⁡2−1)−0=2ln⁡2−1= \left[ (x+1)\ln(x+1) - x \right]_{0}^{1} = (2\ln2 -1) - 0 = 2\ln2 -1. Deci A=12−(2ln⁡2−1)=32−2ln⁡2A = \frac{1}{2} - (2\ln2 -1) = \frac{3}{2} - 2\ln2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.