MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteDerivate
Fie integrala cu parametru I(a)=∫01eax dxI(a) = \int_{0}^{1} e^{ax} \, dx, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Calculați I(a)I(a) pentru a≠0a \neq 0 și folosiți derivarea în raport cu aa pentru a determina ∫01xex dx\int_{0}^{1} x e^{x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați I(a)=∫01eax dxI(a) = \int_{0}^{1} e^{ax} \, dx pentru a≠0a \neq 0, obținând I(a)=ea−1aI(a) = \frac{e^{a} - 1}{a}.
24 puncte
Derivați I(a)I(a) în raport cu aa: dIda=∫01xeax dx=dda(ea−1a)=aea−(ea−1)a2\frac{dI}{da} = \int_{0}^{1} x e^{ax} \, dx = \frac{d}{da} \left( \frac{e^{a} - 1}{a} \right) = \frac{a e^{a} - (e^{a} - 1)}{a^2}.
33 puncte
Pentru a=1a=1, calculați ∫01xex dx=1⋅e1−(e1−1)12=e−e+1=1\int_{0}^{1} x e^{x} \, dx = \frac{1 \cdot e^{1} - (e^{1} - 1)}{1^2} = e - e + 1 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.