MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a domeniului mărginit de curbele y=ln⁡xy = \ln x, y=0y = 0, x=1x = 1 și x=ex = e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul este definit de x∈[1,e]x \in [1, e] și 0≤y≤ln⁡x0 \leq y \leq \ln x. Volumul corpului de rotație în jurul axei Ox este dat de formula V=π∫ab[f(x)]2dxV = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx, unde f(x)f(x) este funcția care descrie limita superioară a domeniului.
23 puncte
În acest caz, f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x, deci volumul este V=π∫1e(ln⁡x)2dxV = \pi \int_{1}^{e} (\ln x)^2 dx.
33 puncte
Calculăm integrala nedefinită ∫(ln⁡x)2dx\int (\ln x)^2 dx folosind integrarea prin părți. Fie u=(ln⁡x)2u = (\ln x)^2 și dv=dxdv = dx, atunci du=2ln⁡x⋅1xdxdu = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx și v=xv = x. Obținem ∫(ln⁡x)2dx=x(ln⁡x)2−∫x⋅2ln⁡x⋅1xdx=x(ln⁡x)2−2∫ln⁡xdx\int (\ln x)^2 dx = x (\ln x)^2 - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx = x (\ln x)^2 - 2 \int \ln x dx. Apoi, pentru ∫ln⁡xdx\int \ln x dx, aplicăm din nou integrarea prin părți cu u=ln⁡xu = \ln x, dv=dxdv = dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=xv = x, și obținem ∫ln⁡xdx=xln⁡x−∫dx=xln⁡x−x+C\int \ln x dx = x \ln x - \int dx = x \ln x - x + C.
42 puncte
Evaluăm integrala definită: ∫1e(ln⁡x)2dx=[x(ln⁡x)2−2(xln⁡x−x)]1e=[x(ln⁡x)2−2xln⁡x+2x]1e\int_{1}^{e} (\ln x)^2 dx = [x (\ln x)^2 - 2(x \ln x - x)]_{1}^{e} = [x (\ln x)^2 - 2x \ln x + 2x]_{1}^{e}. Calculând: pentru x=ex=e, ln⁡e=1\ln e = 1, deci e⋅12−2e⋅1+2e=e−2e+2e=ee \cdot 1^2 - 2e \cdot 1 + 2e = e - 2e + 2e = e; pentru x=1x=1, ln⁡1=0\ln 1 = 0, deci 1⋅02−2⋅1⋅0+2⋅1=21 \cdot 0^2 - 2 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2. Astfel, integrala este e−2e - 2. Deci, volumul este V=π(e−2)V = \pi (e - 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.