MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteTrigonometrieLogaritmi
Demonstrați că ∫01ln⁡(1+x)1+x2 dx=π8ln⁡2\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2} \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Considerarea substituției x=tan⁡tx = \tan t, cu dx=sec⁡2t dtdx = \sec^2 t \, dt. Limitele de integrare devin: pentru x=0x=0, t=0t=0; pentru x=1x=1, t=π4t=\frac{\pi}{4}. Integrala devine ∫0π4ln⁡(1+tan⁡t)1+tan⁡2t sec⁡2t dt\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan t)}{1+\tan^2 t} \, \sec^2 t \, dt.
24 puncte
Simplificarea: 1+tan⁡2t=sec⁡2t1+\tan^2 t = \sec^2 t, deci integrala este ∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dt\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt. Utilizarea identității 1+tan⁡t=sin⁡t+cos⁡tcos⁡t=2sin⁡(t+π4)cos⁡t1+\tan t = \frac{\sin t + \cos t}{\cos t} = \sqrt{2} \frac{\sin(t+\frac{\pi}{4})}{\cos t}. Se consideră și substituția u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t, atunci ln⁡(1+tan⁡t)=ln⁡(1+tan⁡(π4−u))=ln⁡(1+1−tan⁡u1+tan⁡u)=ln⁡(21+tan⁡u)=ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u)\ln(1+\tan t) = \ln\left(1+\tan(\frac{\pi}{4}-u)\right) = \ln\left(1+\frac{1-\tan u}{1+\tan u}\right) = \ln\left(\frac{2}{1+\tan u}\right) = \ln 2 - \ln(1+\tan u).
33 puncte
Integrala inițială I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡t) dtI = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan t) \, dt. Cu substituția u=π4−tu = \frac{\pi}{4} - t, se obține I=∫0π4ln⁡(1+tan⁡(π4−u)) du=∫0π4(ln⁡2−ln⁡(1+tan⁡u)) du=π4ln⁡2−II = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln(1+\tan(\frac{\pi}{4}-u)) \, du = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\ln 2 - \ln(1+\tan u)) \, du = \frac{\pi}{4} \ln 2 - I. Rezolvând 2I=π4ln⁡22I = \frac{\pi}{4} \ln 2, deci I=π8ln⁡2I = \frac{\pi}{8} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.