MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteFuncția de gradul al II-leaArii și volume
Determină aria regiunii mărginite de curbele y=x2−4x+4y = x^2 - 4x + 4 și y=−x2+4xy = -x^2 + 4x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se găsesc punctele de intersecție rezolvând ecuația x2−4x+4=−x2+4xx^2 - 4x + 4 = -x^2 + 4x. Aceasta devine 2x2−8x+4=02x^2 - 8x + 4 = 0, împărțind la 2: x2−4x+2=0x^2 - 4x + 2 = 0. Soluțiile sunt x=2−2x = 2 - \sqrt{2} și x=2+2x = 2 + \sqrt{2}.
24 puncte
Pe intervalul [2−2,2+2][2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}], se verifică că −x2+4x≥x2−4x+4 -x^2 + 4x \geq x^2 - 4x + 4 (de exemplu, pentru x=2x=2, −4+8=4≥4−8+4=0 -4+8=4 \geq 4-8+4=0). Aria este dată de ∫2−22+2[(−x2+4x)−(x2−4x+4)] dx=∫2−22+2(−2x2+8x−4) dx\int_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} [(-x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 4)] \, dx = \int_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}} (-2x^2 + 8x - 4) \, dx.
33 puncte
Se calculează integrala: ∫(−2x2+8x−4) dx=−23x3+4x2−4x+C\int (-2x^2 + 8x - 4) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 4x + C. Evaluând de la 2−22-\sqrt{2} la 2+22+\sqrt{2}: [−23x3+4x2−4x]2−22+2\left[ -\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 4x \right]_{2-\sqrt{2}}^{2+\sqrt{2}}. Folosind simetria și calculând, se obține aria egală cu 1623\frac{16\sqrt{2}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.