MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorTrigonometrie
Demonstrați că pentru orice funcție continuă f:[0,1]→Rf:[0,1] \to \mathbb{R}, are loc egalitatea ∫01f(x)dx=∫01f(1−x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(1-x) dx. Folosiți această proprietate pentru a calcula integrala ∫01sin⁡(πx)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)dx\int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x) + \cos(\pi x)} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se demonstrează proprietatea folosind substituția u=1−xu = 1-x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar limitele devin: când x=0x=0, u=1u=1; când x=1x=1, u=0u=0. Astfel, ∫01f(x)dx=∫10f(1−u)(−du)=∫01f(1−u)du=∫01f(1−x)dx\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{1}^{0} f(1-u) (-du) = \int_{0}^{1} f(1-u) du = \int_{0}^{1} f(1-x) dx.
22 puncte
Se aplică proprietatea integralei date. Fie I=∫01sin⁡(πx)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)dxI = \int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x) + \cos(\pi x)} dx. Atunci I=∫01sin⁡(π(1−x))sin⁡(π(1−x))+cos⁡(π(1−x))dx=∫01sin⁡(πx)sin⁡(πx)−cos⁡(πx)dxI = \int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi(1-x))}{\sin(\pi(1-x)) + \cos(\pi(1-x))} dx = \int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x) - \cos(\pi x)} dx, deoarece sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin \theta și cos⁡(π−θ)=−cos⁡θ\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta.
32 puncte
Se adună cele două expresii pentru II: 2I=∫01sin⁡(πx)sin⁡(πx)+cos⁡(πx)dx+∫01sin⁡(πx)sin⁡(πx)−cos⁡(πx)dx=∫012sin⁡2(πx)sin⁡2(πx)−cos⁡2(πx)dx2I = \int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x) + \cos(\pi x)} dx + \int_{0}^{1} \frac{\sin(\pi x)}{\sin(\pi x) - \cos(\pi x)} dx = \int_{0}^{1} \frac{2\sin^2(\pi x)}{\sin^2(\pi x) - \cos^2(\pi x)} dx.
42 puncte
Se simplifică folosind identități trigonometrice: sin⁡2(πx)−cos⁡2(πx)=−cos⁡(2πx)\sin^2(\pi x) - \cos^2(\pi x) = -\cos(2\pi x) și sin⁡2(πx)=1−cos⁡(2πx)2\sin^2(\pi x) = \frac{1 - \cos(2\pi x)}{2}. Atunci 2I=∫011−cos⁡(2πx)−cos⁡(2πx)dx=−∫01sec⁡(2πx)dx+∫011 dx=−∫01sec⁡(2πx)dx+12I = \int_{0}^{1} \frac{1 - \cos(2\pi x)}{-\cos(2\pi x)} dx = -\int_{0}^{1} \sec(2\pi x) dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx = -\int_{0}^{1} \sec(2\pi x) dx + 1.
51 punct
Se calculează ∫01sec⁡(2πx)dx=[12πln⁡∣sec⁡(2πx)+tan⁡(2πx)∣]01=0\int_{0}^{1} \sec(2\pi x) dx = \left[ \frac{1}{2\pi} \ln | \sec(2\pi x) + \tan(2\pi x) | \right]_{0}^{1} = 0, deoarece sec⁡(2π)=sec⁡(0)=1\sec(2\pi) = \sec(0) = 1 și tan⁡(2π)=tan⁡(0)=0\tan(2\pi) = \tan(0) = 0. Astfel, 2I=12I = 1, deci I=12I = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.