MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volume
Determinați volumul corpului generat prin rotația în jurul axei y=4y = 4 a regiunii mărginite de curbele y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2, pentru x∈[0,1]x \in [0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se identifică limitele de integrare: punctele de intersecție ale curbelor y=xy = \sqrt{x} și y=x2y = x^2 pe [0,1][0,1] sunt x=0x=0 și x=1x=1.
23 puncte
Se stabilește integrala pentru volum folosind metoda tuburilor (cilindrilor). În rotație în jurul y=4y=4, pentru yy de la 00 la 11, raza este 4−y4 - y, iar înălțimea este y−y2\sqrt{y} - y^2 (din x=y2x = y^2 și x=yx = \sqrt{y} inversate). Volumul este V=2π∫01(4−y)(y−y2)dyV = 2\pi \int_{0}^{1} (4 - y)(\sqrt{y} - y^2) dy.
33 puncte
Se simplifică integrandul: (4−y)(y−y2)=4y−4y2−yy+y3=4y1/2−4y2−y3/2+y3(4 - y)(\sqrt{y} - y^2) = 4\sqrt{y} - 4y^2 - y\sqrt{y} + y^3 = 4y^{1/2} - 4y^2 - y^{3/2} + y^3.
42 puncte
Se calculează integrala: ∫01(4y1/2−4y2−y3/2+y3)dy=[83y3/2−43y3−25y5/2+14y4]01=83−43−25+14=43−25+14=8060−2460+1560=7160\int_{0}^{1} (4y^{1/2} - 4y^2 - y^{3/2} + y^3) dy = \left[ \frac{8}{3}y^{3/2} - \frac{4}{3}y^3 - \frac{2}{5}y^{5/2} + \frac{1}{4}y^4 \right]_{0}^{1} = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{4}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{80}{60} - \frac{24}{60} + \frac{15}{60} = \frac{71}{60}. Așadar, V=2π⋅7160=71π30V = 2\pi \cdot \frac{71}{60} = \frac{71\pi}{30}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.