MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelor
Calculează integrala definită ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se aplică substituția u=π−xu = \pi - x. Atunci du=−dxdu = -dx, iar limitele devin: când x=0x=0, u=πu=\pi și când x=πx=\pi, u=0u=0. Integrala se transformă în ∫π0(π−u)sin⁡(π−u)1+cos⁡2(π−u)(−du)=∫0π(π−u)sin⁡u1+cos⁡2u du\int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - u) \sin(\pi - u)}{1 + \cos^2(\pi - u)} (-du) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - u) \sin u}{1 + \cos^2 u} \, du.
23 puncte
Notând I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx, din substituție avem I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2x dxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx. Adunând, obținem 2I=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2x dx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx.
33 puncte
Se calculează J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2x dxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx prin substituția t=cos⁡xt = \cos x, dt=−sin⁡x dxdt = -\sin x \, dx. Atunci J=∫1−1−dt1+t2=∫−11dt1+t2=[arctan⁡t]−11=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{-dt}{1+t^2} = \int_{-1}^{1} \frac{dt}{1+t^2} = [\arctan t]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}. Înlocuind, 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.