MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Determinați aria suprafeței plane mărginite de graficele funcțiilor f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x și g(x)=cos⁡xg(x) = \cos x pe intervalul [0,π2][0, \frac{\pi}{2}].

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Găsim punctele de intersecție ale graficelor rezolvând sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x. Obținem x=π4x = \frac{\pi}{4}.
23 puncte
Aria se calculează ca suma a două integrale: A=∫0π4(cos⁡x−sin⁡x)dx+∫π4π2(sin⁡x−cos⁡x)dxA = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) dx.
32 puncte
Calculăm prima integrală: ∫(cos⁡x−sin⁡x)dx=sin⁡x+cos⁡x\int (\cos x - \sin x) dx = \sin x + \cos x. Evaluăm de la 00 la π4\frac{\pi}{4}: (sin⁡(π4)+cos⁡(π4))−(sin⁡0+cos⁡0)=(22+22)−(0+1)=2−1(\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin 0 + \cos 0) = (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0+1) = \sqrt{2} - 1.
42 puncte
Calculăm a doua integrală: ∫(sin⁡x−cos⁡x)dx=−cos⁡x−sin⁡x\int (\sin x - \cos x) dx = -\cos x - \sin x. Evaluăm de la π4\frac{\pi}{4} la π2\frac{\pi}{2}: [−cos⁡(π2)−sin⁡(π2)]−[−cos⁡(π4)−sin⁡(π4)]=(0−1)−(−22−22)=−1+2=2−1[-\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})] - [-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})] = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1.
51 punct
Adunăm rezultatele: A=(2−1)+(2−1)=22−2A = (\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.