MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteLogaritmi
Calculează integrala definită ∫01x2ln⁡(1+x) dx\int_{0}^{1} x^2 \ln(1+x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm integrarea prin părți cu u=ln⁡(1+x)u = \ln(1+x) și dv=x2dxdv = x^2 dx, obținând du=11+xdxdu = \frac{1}{1+x} dx și v=x33v = \frac{x^3}{3}. Integrala devine x33ln⁡(1+x)∣01−∫01x33(1+x)dx\frac{x^3}{3} \ln(1+x) \bigg|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^3}{3(1+x)} dx.
24 puncte
Simplificăm ∫x31+xdx\int \frac{x^3}{1+x} dx prin împărțire polinomială: x31+x=x2−x+1−11+x\frac{x^3}{1+x} = x^2 - x + 1 - \frac{1}{1+x}. Apoi integrăm: ∫(x2−x+1−11+x)dx=x33−x22+x−ln⁡∣1+x∣+C\int (x^2 - x + 1 - \frac{1}{1+x}) dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln|1+x| + C.
33 puncte
Evaluăm integrala definită: [x33ln⁡(1+x)]01−13[x33−x22+x−ln⁡(1+x)]01=13ln⁡2−13((13−12+1−ln⁡2)−(0))\left[ \frac{x^3}{3} \ln(1+x) \right]_{0}^{1} - \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x - \ln(1+x) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \ln 2 - \frac{1}{3} \left( \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 - \ln 2 \right) - (0) \right). Simplificăm pentru a obține 29ln⁡2+118\frac{2}{9} \ln 2 + \frac{1}{18}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.