MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați integrala definită ∫01x2+1x4+1dx\int_0^1 \frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm că x4+1=(x2+2x+1)(x2−2x+1)x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 - \sqrt{2}x + 1). Scriem fracția ca sumă de fracții simple: x2+1x4+1=Ax+Bx2+2x+1+Cx+Dx2−2x+1\frac{x^2 + 1}{x^4 + 1} = \frac{Ax + B}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} și determinăm constantele prin identificare.
23 puncte
După calcul, obținem A=122A = \frac{1}{2\sqrt{2}}, B=12B = \frac{1}{2}, C=−122C = -\frac{1}{2\sqrt{2}}, D=12D = \frac{1}{2}. Integrala devine ∫01(122x+12x2+2x+1+−122x+12x2−2x+1)dx\int_0^1 \left( \frac{\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}}{x^2 + \sqrt{2}x + 1} + \frac{-\frac{1}{2\sqrt{2}}x + \frac{1}{2}}{x^2 - \sqrt{2}x + 1} \right) dx.
33 puncte
Pentru fiecare termen, completăm pătratul: x2+2x+1=(x+22)2+12x^2 + \sqrt{2}x + 1 = \left(x + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} și x2−2x+1=(x−22)2+12x^2 - \sqrt{2}x + 1 = \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}. Folosim substituții de forma u=x±22u = x \pm \frac{\sqrt{2}}{2} și integrăm.
42 puncte
După evaluare și simplificare, obținem rezultatul final π42\frac{\pi}{4\sqrt{2}}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.