MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumePrimitive
Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Oy a regiunii mărginite de curbele y=ln⁡xy = \ln x, y=0y = 0, și dreapta x=ex = e.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Volumul se calculează folosind metoda tuburilor: V=2π∫abx⋅f(x) dxV = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot f(x) \, dx, unde f(x)f(x) descrie curba. Regiunea este definită de 0≤y≤ln⁡x0 \leq y \leq \ln x pentru 1≤x≤e1 \leq x \leq e (deoarece y=ln⁡xy = \ln x intersectează y=0y=0 la x=1x=1).
24 puncte
Exprimăm volumul ca V=2π∫1ex⋅ln⁡x dxV = 2\pi \int_{1}^{e} x \cdot \ln x \, dx. Pentru a calcula integrala, folosim integrarea prin părți.
33 puncte
Alegem u=ln⁡xu = \ln x și dv=x dxdv = x \, dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx și v=x22v = \frac{x^2}{2}. Aplicând integrarea prin părți, avem ∫xln⁡x dx=x22ln⁡x−∫x2 dx=x22ln⁡x−x24\int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}. Evaluând de la 1 la e, obținem [x22ln⁡x−x24]1e=(e22⋅1−e24)−(0−14)=e24+14\left[ \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{e} = \left( \frac{e^2}{2} \cdot 1 - \frac{e^2}{4} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}. Înmulțind cu 2π2\pi, volumul este V=2π(e24+14)=π2(e2+1)V = 2\pi \left( \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} \right) = \frac{\pi}{2}(e^2 + 1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.