MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveProprietăți ale integralelor
Calculați integrala definită ∫01xarctan⁡(x) dx\int_{0}^{1} x \arctan(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Identificăm că putem folosi integrarea prin părți. Considerăm u=arctan⁡(x)u = \arctan(x) și dv=x dxdv = x \, dx.
25 puncte
Calculăm du=11+x2dxdu = \frac{1}{1+x^2} dx și v=x22v = \frac{x^2}{2}. Aplicăm formula: ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du. Obținem ∫xarctan⁡(x)dx=x22arctan⁡(x)−∫x22⋅11+x2dx\int x \arctan(x) dx = \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} dx.
33 puncte
Simplificăm și calculăm integrala. ∫x22(1+x2)dx=12∫(1−11+x2)dx=12(x−arctan⁡(x))\int \frac{x^2}{2(1+x^2)} dx = \frac{1}{2} \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \frac{1}{2} (x - \arctan(x)). Apoi evaluăm de la 0 la 1: [x22arctan⁡(x)−12(x−arctan⁡(x))]01=12⋅π4−12(1−π4)=π8−12+π8=π4−12\left[ \frac{x^2}{2} \arctan(x) - \frac{1}{2}(x - \arctan(x)) \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}(1 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.