MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorPrimitive
Calculați integrala definită: ∫02∣x2−1∣ dx\int_{0}^{2} |x^2 - 1| \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se determină punctul în care x2−1=0x^2 - 1 = 0, adică x=1x=1, și se descompune integrala: ∫01(1−x2) dx+∫12(x2−1) dx\int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx.
24 puncte
Se calculează prima integrală: ∫01(1−x2) dx=[x−x33]01=1−13=23\int_{0}^{1} (1 - x^2) \, dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
33 puncte
Se calculează a doua integrală și se adună: ∫12(x2−1) dx=[x33−x]12=(83−2)−(13−1)=23+23=43\int_{1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}, deci integrala totală este 23+43=2\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.