MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteProprietăți ale integralelorPrimitive
Calculați integrala definită ∫1eln⁡xx2 dx\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^2} \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Identificăm integrala și aplicăm integrarea prin părți, alegând u=ln⁡xu = \ln x și dv=1x2dxdv = \frac{1}{x^2} dx. Calculăm du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx și v=−1xv = -\frac{1}{x}.
24 puncte
Aplicăm formula ∫u dv=uv−∫v du\int u \, dv = uv - \int v \, du, obținând ∫ln⁡xx2dx=−ln⁡xx−∫(−1x)⋅1xdx=−ln⁡xx+∫1x2dx\int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx.
33 puncte
Evaluați la limitele 1 și e: [−ln⁡xx]1e+∫1e1x2dx\left[ -\frac{\ln x}{x} \right]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} dx. Calculăm ∫1e1x2dx=[−1x]1e=−1e+1\int_{1}^{e} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{e} = -\frac{1}{e} + 1. Combinați: (−ln⁡ee−(−ln⁡11))+(−1e+1)=(−1e−0)+(−1e+1)=−2e+1\left(-\frac{\ln e}{e} - (-\frac{\ln 1}{1})\right) + (-\frac{1}{e} + 1) = \left(-\frac{1}{e} - 0\right) + (-\frac{1}{e} + 1) = -\frac{2}{e} + 1. Rezultat final: 1−2e1 - \frac{2}{e}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.