MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un număr real. Pe mulțimea M=R∖{a}M = \mathbb{R} \setminus \{a\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy−a(x+y)+a2x+y−2ax * y = \frac{xy - a(x+y) + a^2}{x+y - 2a} pentru orice x,y∈Mx, y \in M. a) Arătați că ∗* este comutativă pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}. b) Determinați aa astfel încât ∗* să fie asociativă. c) Pentru valorile lui aa găsite, determinați elementul neutru al legii ∗*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru comutativitate, se calculează y∗x=yx−a(y+x)+a2y+x−2ay * x = \frac{yx - a(y+x) + a^2}{y+x - 2a} și se observă că este egal cu x∗yx * y, deci legea este comutativă pentru orice aa.
24 puncte
Se scrie condiția de asociativitate (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z), se înlocuiește definiția și se simplifică; se obține ecuația a(x+y+z−3a)=0a(x+y+z - 3a) = 0 care trebuie să fie adevărată pentru orice x,y,z∈Mx, y, z \in M, deci a=0a=0.
33 puncte
Pentru a=0a=0, legea devine x∗y=xyx+yx * y = \frac{xy}{x+y} pe R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}; se caută ee astfel încât x∗e=xx * e = x, rezultă e=12e = \frac{1}{2}, verificabil prin calcul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.