MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea numerelor întregi Z\mathbb{Z} se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a+b+2aba * b = a + b + 2ab pentru orice a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}. Arătați că ∗* este comutativă și asociativă. Aflați elementul neutru. Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația x∗3=5x * 3 = 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm comutativitatea. a∗b=a+b+2ab=b+a+2ba=b∗aa * b = a + b + 2ab = b + a + 2ba = b * a, deci operația este comutativă.
24 puncte
Arătăm asociativitatea. Calculăm (a∗b)∗c=(a+b+2ab)∗c=(a+b+2ab)+c+2(a+b+2ab)c=a+b+c+2ab+2ac+2bc+4abc(a * b) * c = (a + b + 2ab) * c = (a + b + 2ab) + c + 2(a + b + 2ab)c = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc + 4abc. Calculăm a∗(b∗c)=a∗(b+c+2bc)=a+(b+c+2bc)+2a(b+c+2bc)=a+b+c+2bc+2ab+2ac+4abca * (b * c) = a * (b + c + 2bc) = a + (b + c + 2bc) + 2a(b + c + 2bc) = a + b + c + 2bc + 2ab + 2ac + 4abc. Se observă că cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru. Fie ee elementul neutru, atunci a∗e=aa * e = a pentru orice aa. Rezolvăm a+e+2ae=a⇒e(1+2a)=0a + e + 2ae = a \Rightarrow e(1 + 2a) = 0 pentru orice aa. Pentru a=0a = 0, obținem e⋅1=0⇒e=0e \cdot 1 = 0 \Rightarrow e = 0. Verificăm: a∗0=a+0+2a⋅0=aa * 0 = a + 0 + 2a\cdot0 = a și 0∗a=0+a+2⋅0⋅a=a0 * a = 0 + a + 2\cdot0\cdot a = a, deci e=0e = 0 este elementul neutru.
42 puncte
Rezolvăm ecuația x∗3=5x * 3 = 5. Folosind definiția, x+3+2⋅x⋅3=5⇒x+3+6x=5⇒7x+3=5⇒7x=2⇒x=27x + 3 + 2\cdot x \cdot 3 = 5 \Rightarrow x + 3 + 6x = 5 \Rightarrow 7x + 3 = 5 \Rightarrow 7x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{7}. Dar xx trebuie să fie în Z\mathbb{Z}, iar 27\frac{2}{7} nu este întreg, deci ecuația nu are soluție în Z\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.