MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Neliniare
Fie ∗* o lege de compoziție pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=x3+y3+kxy3x * y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + kxy}, unde kk este un parametru real. a) Determinați kk pentru care ∗* este asociativă. b) Pentru kk găsit, arătați că ∗* este comutativă și că admite element neutru. c) Rezolvați sistemul: {x∗y=2y∗z=3z∗x=4\begin{cases} x * y = 2 \\ y * z = 3 \\ z * x = 4 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Asociativitatea cere (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z). Calculând: (x∗y)∗z=(x3+y3+kxy3)3+z3+k(x3+y3+kxy3)z3=x3+y3+kxy+z3+kzx3+y3+kxy33(x * y) * z = \sqrt[3]{(\sqrt[3]{x^3 + y^3 + kxy})^3 + z^3 + k(\sqrt[3]{x^3 + y^3 + kxy})z} = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + kxy + z^3 + kz\sqrt[3]{x^3 + y^3 + kxy}}. Similar pentru x∗(y∗z)x * (y * z). Egaleând și ridicând la cub, se obține k2=9k^2 = 9, deci k=3k = 3 sau k=−3k = -3.
23 puncte
Pentru k=3k = 3 (sau k=−3k = -3, dar se consideră k=3k=3 ca exemplu), comutativitatea este evidentă deoarece x∗y=x3+y3+3xy3=y∗xx * y = \sqrt[3]{x^3 + y^3 + 3xy} = y * x. Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x. Rezolvând x3+e3+3xe3=x\sqrt[3]{x^3 + e^3 + 3xe} = x, se obține e3+3xe=0e^3 + 3xe = 0 pentru orice xx, deci e=0e = 0.
33 puncte
Pentru k=3k = 3, sistemul devine {x3+y3+3xy3=2y3+z3+3yz3=3z3+x3+3zx3=4\begin{cases} \sqrt[3]{x^3 + y^3 + 3xy} = 2 \\ \sqrt[3]{y^3 + z^3 + 3yz} = 3 \\ \sqrt[3]{z^3 + x^3 + 3zx} = 4 \end{cases}. Cubând fiecare ecuație: x3+y3+3xy=8x^3 + y^3 + 3xy = 8, y3+z3+3yz=27y^3 + z^3 + 3yz = 27, z3+x3+3zx=64z^3 + x^3 + 3zx = 64. Adunând aceste ecuații și folosind identitatea a3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca), se obține (x+y+z)(x2+y2+z2−xy−yz−zx)=99−3xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) = 99 - 3xyz. Observând că x2+y2+z2−xy−yz−zx=12[(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2]x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = \frac{1}{2}[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2], se poate deduce x+y+z=8+27+643=993x+y+z = \sqrt[3]{8+27+64} = \sqrt[3]{99}, și apoi se determină x,y,zx, y, z din ecuațiile individuale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.