MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R∖{−1,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}, se definește legea de compoziție ∗* prin a∗b=a+b1+aba * b = \frac{a + b}{1 + ab}. Determinați elementul neutru, demonstrați că legea este comutativă și asociativă, și găsiți soluțiile ecuației x∗2=3x * 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsirea elementului neutru. Se caută ee astfel încât a∗e=aa * e = a pentru orice aa. Ecuația: a+e1+ae=a\frac{a + e}{1 + ae} = a. Rezolvând, a+e=a(1+ae)=a+a2ea + e = a(1 + ae) = a + a^2 e, deci e=a2ee = a^2 e. Pentru a≠±1a \neq \pm 1, obținem e(1−a2)=0e(1 - a^2) = 0, de unde e=0e = 0. Verificare: a∗0=a+01+a⋅0=aa * 0 = \frac{a + 0}{1 + a \cdot 0} = a.
23 puncte
Demonstrarea comutativității. a∗b=a+b1+ab=b+a1+ba=b∗aa * b = \frac{a + b}{1 + ab} = \frac{b + a}{1 + ba} = b * a, deci legea este comutativă.
32 puncte
Demonstrarea asociativității. Se verifică că (a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a * b) * c = a * (b * c). Calcul: (a∗b)∗c=a+b1+ab+c1+a+b1+abc=a+b+c(1+ab)1+ab+c(a+b)=a+b+c+abc1+ab+ac+bc(a * b) * c = \frac{\frac{a+b}{1+ab} + c}{1 + \frac{a+b}{1+ab} c} = \frac{a+b + c(1+ab)}{1+ab + c(a+b)} = \frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}. a∗(b∗c)=a+b+c1+bc1+ab+c1+bc=a(1+bc)+b+c1+bc+a(b+c)=a+abc+b+c1+bc+ab+ac=a+b+c+abc1+ab+ac+bca * (b * c) = \frac{a + \frac{b+c}{1+bc}}{1 + a \frac{b+c}{1+bc}} = \frac{a(1+bc) + b+c}{1+bc + a(b+c)} = \frac{a+abc+b+c}{1+bc+ab+ac} = \frac{a+b+c+abc}{1+ab+ac+bc}. Cele două sunt egale, deci legea este asociativă.
42 puncte
Rezolvarea ecuației x∗2=3x * 2 = 3. Ecuația: x+21+2x=3\frac{x + 2}{1 + 2x} = 3. Rezultă x+2=3(1+2x)=3+6xx + 2 = 3(1 + 2x) = 3 + 6x, deci x+2=3+6xx + 2 = 3 + 6x, adică −1=5x-1 = 5x, x=−15x = -\frac{1}{5}. Verificare: x=−15∈R∖{−1,1}x = -\frac{1}{5} \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.