MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie operația ∗* definită pe mulțimea Z\mathbb{Z} prin a∗b=a+b+aba * b = a + b + ab pentru orice a,b∈Za, b \in \mathbb{Z}. a) Arătați că ∗* este o lege de compoziție asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Pentru fiecare a∈Za \in \mathbb{Z}, găsiți simetricul său, dacă există, și discutați în ce cazuri acesta aparține lui Z\mathbb{Z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Comutativitatea: a∗b=a+b+ab=b+a+ba=b∗aa * b = a + b + ab = b + a + ba = b * a; asociativitatea: (a∗b)∗c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc(a * b) * c = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c = a + b + c + ab + ac + bc + abc și a∗(b∗c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abca * (b * c) = a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc, deci sunt egale;
23 puncte
Elementul neutru ee se obține din a∗e=aa * e = a, adică a+e+ae=aa + e + ae = a, deci e(1+a)=0e(1 + a) = 0 pentru orice aa, astfel e=0e = 0;
33 puncte
Simetricul lui aa este bb astfel încât a∗b=0a * b = 0, deci a+b+ab=0a + b + ab = 0, rezultând b=−aa+1b = -\frac{a}{a+1}; pentru a≠−1a \neq -1, b∈Zb \in \mathbb{Z} doar dacă a+1a+1 divide aa, ceea ce se întâmplă pentru a=0a = 0 (cu b=0b = 0) și a=−2a = -2 (cu b=−2b = -2); pentru a=−1a = -1, ecuația devine −1+b−b=0-1 + b - b = 0, imposibilă, deci nu există simetric.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.