MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}. Studiați proprietățile acestei legi: verificați asociativitatea, determinați elementul neutru (dacă există) și elementele simetrice (dacă există). Apoi rezolvați ecuația (x∗2)∗3=4(x * 2) * 3 = 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea asociativității: calculați (x∗y)∗z=(xy+x+y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz+y+z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x * (yz + y + z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Se observă că expresiile sunt egale, deci operația este asociativă.
22 puncte
Determinarea elementului neutru: căutăm ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Rezolvăm x∗e=xe+x+e=x⇒xe+e=0⇒e(x+1)=0x * e = xe + x + e = x \Rightarrow xe + e = 0 \Rightarrow e(x+1)=0. Deoarece trebuie să fie adevărat pentru orice xx, avem e=0e=0. Verificăm: x∗0=x⋅0+x+0=xx * 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x, deci e=0e=0 este element neutru.
32 puncte
Determinarea elementelor simetrice: pentru fiecare xx, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Rezolvăm x∗x′=xx′+x+x′=0⇒xx′+x′=−x⇒x′(x+1)=−xx * x' = xx' + x + x' = 0 \Rightarrow xx' + x' = -x \Rightarrow x'(x+1) = -x. Dacă x≠−1x \neq -1, atunci x′=−xx+1x' = \frac{-x}{x+1}. Pentru x=−1x = -1, nu există element simetric deoarece ecuația devine 0⋅x′=10 \cdot x' = 1, imposibil.
43 puncte
Rezolvarea ecuației: mai întâi calculăm x∗2=x⋅2+x+2=3x+2x * 2 = x \cdot 2 + x + 2 = 3x + 2. Apoi (x∗2)∗3=(3x+2)∗3=(3x+2)⋅3+(3x+2)+3=9x+6+3x+2+3=12x+11(x * 2) * 3 = (3x+2) * 3 = (3x+2) \cdot 3 + (3x+2) + 3 = 9x+6 + 3x+2 + 3 = 12x + 11. Ecuația devine 12x+11=4⇒12x=−7⇒x=−71212x + 11 = 4 \Rightarrow 12x = -7 \Rightarrow x = -\frac{7}{12}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.