MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie M={x∈R∣x≠0,x≠1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0, x \neq 1 \}. Pe MM se definește operația ∘\circ prin a∘b=a+b−2ab1−aba \circ b = \frac{a+b-2ab}{1-ab}. Studiați dacă operația este asociativă și comutativă. Determinați elementul neutru, dacă există, și rezolvați ecuația x∘12=2x \circ \frac{1}{2} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: a∘b=a+b−2ab1−ab=b+a−2ba1−ba=b∘aa \circ b = \frac{a+b-2ab}{1-ab} = \frac{b+a-2ba}{1-ba} = b \circ a, deci este comutativă.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: Calculăm (a∘b)∘c(a \circ b) \circ c și a∘(b∘c)a \circ (b \circ c); notăm d=a∘b=a+b−2ab1−abd = a \circ b = \frac{a+b-2ab}{1-ab}, apoi (a∘b)∘c=d∘c=d+c−2dc1−dc(a \circ b) \circ c = d \circ c = \frac{d+c-2dc}{1-dc}; substituim dd și simplificăm, găsim a+b+c−2ab−2ac−2bc+4abc1−ab−ac−bc+3abc\frac{a+b+c-2ab-2ac-2bc+4abc}{1-ab-ac-bc+3abc}; similar pentru a∘(b∘c)a \circ (b \circ c), cu e=b∘c=b+c−2bc1−bce = b \circ c = \frac{b+c-2bc}{1-bc}, apoi a∘(b∘c)=a∘e=a+e−2ae1−aea \circ (b \circ c) = a \circ e = \frac{a+e-2ae}{1-ae}; după substituire, se obține aceeași expresie, deci este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru ee verifică a∘e=aa \circ e = a: a+e−2ae1−ae=a⇒a+e−2ae=a(1−ae)⇒a+e−2ae=a−a2e⇒e−2ae+a2e=0⇒e(1−2a+a2)=0⇒e(a−1)2=0\frac{a+e-2ae}{1-ae} = a \Rightarrow a+e-2ae = a(1-ae) \Rightarrow a+e-2ae = a - a^2 e \Rightarrow e - 2ae + a^2 e = 0 \Rightarrow e(1 - 2a + a^2) = 0 \Rightarrow e(a-1)^2 = 0; deoarece a≠1a \neq 1 și a∈Ma \in M, rezultă e=0e=0, dar 0∉M0 \notin M (pentru că MM exclude 00); verificăm direct: pentru e=0e=0, a∘0=a+0−01−0=aa \circ 0 = \frac{a+0-0}{1-0} = a, dar 00 nu este în MM, deci nu există element neutru în MM.
42 puncte
Rezolvăm ecuația x∘12=2x \circ \frac{1}{2} = 2: x+12−2⋅x⋅121−x⋅12=2⇒x+12−x1−x2=2⇒122−x2=2⇒12⋅22−x=2⇒12−x=2⇒1=4−2x⇒2x=3⇒x=32\frac{x + \frac{1}{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2}}{1 - x \cdot \frac{1}{2}} = 2 \Rightarrow \frac{x + \frac{1}{2} - x}{1 - \frac{x}{2}} = 2 \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}}{\frac{2-x}{2}} = 2 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2-x} = 2 \Rightarrow \frac{1}{2-x} = 2 \Rightarrow 1 = 4 - 2x \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}; verificăm că 32∈M\frac{3}{2} \in M deoarece 32≠0,1\frac{3}{2} \neq 0, 1.
51 punct
Concluzie: operația este comutativă și asociativă, nu are element neutru în MM, iar ecuația are soluția x=32x = \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.