MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Pe mulțimea M=R∖{0}M = \mathbb{R} \setminus \{0\} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. Să se demonstreze că ∘\circ este asociativă și să se rezolve ecuația x∘(x∘2)=3x \circ (x \circ 2) = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Demonstrarea asociativității: Calculăm (x∘y)∘z=xyx+y⋅zxyx+y+z=xyzxy+z(x+y)=xyzxy+xz+yz(x \circ y) \circ z = \frac{\frac{xy}{x+y} \cdot z}{\frac{xy}{x+y} + z} = \frac{xyz}{xy + z(x+y)} = \frac{xyz}{xy + xz + yz} și x∘(y∘z)=x⋅yzy+zx+yzy+z=xyzx(y+z)+yz=xyzxy+xz+yzx \circ (y \circ z) = \frac{x \cdot \frac{yz}{y+z}}{x + \frac{yz}{y+z}} = \frac{xyz}{x(y+z) + yz} = \frac{xyz}{xy + xz + yz}. Deoarece expresiile sunt identice, legea este asociativă.
23 puncte
Calculăm x∘2=x⋅2x+2=2xx+2x \circ 2 = \frac{x \cdot 2}{x + 2} = \frac{2x}{x+2}. Apoi, x∘(x∘2)=x∘2xx+2=x⋅2xx+2x+2xx+2=2x2x+2x(x+2)+2xx+2=2x2x2+2x+2x=2x2x2+4xx \circ (x \circ 2) = x \circ \frac{2x}{x+2} = \frac{x \cdot \frac{2x}{x+2}}{x + \frac{2x}{x+2}} = \frac{\frac{2x^2}{x+2}}{\frac{x(x+2) + 2x}{x+2}} = \frac{2x^2}{x^2 + 2x + 2x} = \frac{2x^2}{x^2 + 4x}.
33 puncte
Ecuația devine 2x2x2+4x=3\frac{2x^2}{x^2 + 4x} = 3. Rezolvăm: 2x2=3(x2+4x)⇒2x2=3x2+12x⇒x2+12x=0⇒x(x+12)=0⇒x=02x^2 = 3(x^2 + 4x) \Rightarrow 2x^2 = 3x^2 + 12x \Rightarrow x^2 + 12x = 0 \Rightarrow x(x+12)=0 \Rightarrow x=0 sau x=−12x=-12. Deoarece x∈M=R∖{0}x \in M = \mathbb{R} \setminus \{0\}, x=0x=0 nu este admisibil. Soluția este x=−12x=-12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.