MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea G={(a,b)∣a,b∈R,a≠0}G = \{ (a,b) \mid a,b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \} și operația ∗* definită prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+b)(a,b) * (c,d) = (ac, ad+b). Demonstrați că (G,∗)(G,*) este grup. Determinați elementul neutru și inversul unui element (a,b)∈G(a,b) \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea închiderii: pentru (a,b),(c,d)∈G(a,b), (c,d) \in G, ac≠0ac \neq 0 deoarece a≠0a \neq 0 și c≠0c \neq 0, deci (ac,ad+b)∈G(ac, ad+b) \in G.
23 puncte
Demonstrarea asociativității: calculăm ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+b)∗(e,f)=(ace,acf+ad+b)((a,b)*(c,d))*(e,f) = (ac, ad+b)*(e,f) = (ace, acf + ad + b) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+d)=(ace,a(cf+d)+b)=(ace,acf+ad+b)(a,b)*((c,d)*(e,f)) = (a,b)*(ce, cf+d) = (ace, a(cf+d)+b) = (ace, acf + ad + b), deci sunt egale.
32 puncte
Găsirea elementului neutru eG=(1,0)e_G = (1,0): verificăm (a,b)∗(1,0)=(a⋅1,a⋅0+b)=(a,b)(a,b)*(1,0) = (a \cdot 1, a \cdot 0 + b) = (a,b) și (1,0)∗(a,b)=(1⋅a,1⋅b+0)=(a,b)(1,0)*(a,b) = (1 \cdot a, 1 \cdot b + 0) = (a,b).
42 puncte
Determinarea inversului: pentru (a,b)(a,b), căutăm (x,y)(x,y) astfel încât (a,b)∗(x,y)=(1,0)(a,b)*(x,y) = (1,0), deci (ax,ay+b)=(1,0)(ax, ay+b) = (1,0), rezultă ax=1⇒x=1aax=1 \Rightarrow x=\frac{1}{a} și ay+b=0⇒y=−baay+b=0 \Rightarrow y=-\frac{b}{a}, deci inversul este (1a,−ba)\left(\frac{1}{a}, -\frac{b}{a}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.