MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2. a) Studiați comutativitatea și asociativitatea acestei legi. b) Determinați elementul neutru. c) Rezolvați în mulțimea dată ecuația x∗x=2x * x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea comutativității: x∗y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∗xx*y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y*x, deci legea este comutativă. Verificarea asociativității: calculăm (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x*y)*z = (xy - x - y + 2)*z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx*(y*z) = x*(yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z), deci legea este asociativă.
22 puncte
Determinarea elementului neutru. Căutăm ee astfel încât x∗e=xx*e = x pentru orice xx. Avem x∗e=xe−x−e+2=x⇒xe−e=2x−2⇒e(x−1)=2(x−1)x*e = xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e = 2x - 2 \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, putem simplifica cu x−1x-1, obținând e=2e=2. Verificăm: x∗2=2x−x−2+2=xx*2 = 2x - x - 2 + 2 = x, deci elementul neutru este 22.
32 puncte
Rezolvarea ecuației x∗x=2x*x=2. Avem x∗x=x2−x−x+2=x2−2x+2=2⇒x2−2x=0⇒x(x−2)=0⇒x=0x*x = x^2 - x - x + 2 = x^2 - 2x + 2 = 2 \Rightarrow x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x-2)=0 \Rightarrow x=0 sau x=2x=2. Ambele soluții aparțin mulțimii R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}.
43 puncte
Pentru completare, se poate observa că x∗y=(x−1)(y−1)+1x*y = (x-1)(y-1)+1, ceea ce explică proprietățile. Se acordă punctele pentru clarificarea acestei forme sau pentru verificarea simetricului unui element opțional, dar nu este obligatoriu pentru barem.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.