MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie mulțimea M=R∖{−1}M = \mathbb{R} \setminus \{-1\} și operația ∘\circ definită prin x∘y=x+y+xyx \circ y = x + y + xy pentru orice x,y∈Mx, y \in M.\n a) Demonstrați că operația ∘\circ este comutativă și asociativă.\n b) Găsiți elementul neutru al lui (M,∘)(M, \circ).\n c) Arătați că orice element din MM are invers în raport cu operația ∘\circ.\n d) Deduceți că (M,∘)(M, \circ) este un grup comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Demonstrarea comutativității: x∘y=x+y+xy=y+x+yx=y∘xx \circ y = x + y + xy = y + x + yx = y \circ x.\n
23 puncte
Demonstrarea asociativității: (x∘y)∘z=(x+y+xy)∘z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+xy+z+xz+yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y + xy) \circ z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + xy + z + xz + yz + xyz și x∘(y∘z)=x∘(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z + yz) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + yz + xy + xz + xyz, deci sunt egale.\n
32 puncte
Găsirea elementului neutru: Fie ee astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Mx \in M. Atunci x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1 + x) = 0. Deoarece x≠−1x \neq -1, 1+x≠01 + x \neq 0, deci e=0e = 0. Verificare: x∘0=x+0+x⋅0=xx \circ 0 = x + 0 + x \cdot 0 = x.\n
42 puncte
Demonstrarea existenței inversei: Pentru x∈Mx \in M, inversul x′x' satisface x∘x′=0⇒x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−x⇒x′=−x1+xx \circ x' = 0 \Rightarrow x + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1 + x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1 + x}, care există pentru că x≠−1x \neq -1, deci 1+x≠01 + x \neq 0.\n
51 punct
Concluzia că (M,∘)(M, \circ) este grup comutativ, deoarece operația este comutativă, asociativă, are element neutru și fiecare element are invers.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.