MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∘y=xy−x−y+2x \circ y = xy - x - y + 2. a) Arătați că (M,∘)(M, \circ) este grup comutativ. b) Rezolvați în MM ecuația x∘x∘x=8x \circ x \circ x = 8, unde x∘x∘xx \circ x \circ x înseamnă (x∘x)∘x(x \circ x) \circ x.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificați că pentru orice x,y∈Mx, y \in M, x∘y=xy−x−y+2∈Mx \circ y = xy - x - y + 2 \in M (adică x∘y≠1x \circ y \neq 1) și că operația este bine definită.
23 puncte
Demonstrați asociativitatea: (x∘y)∘z=(xy−x−y+2)∘z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2(x \circ y) \circ z = (xy - x - y + 2) \circ z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 și x∘(y∘z)=x∘(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2x \circ (y \circ z) = x \circ (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2, apoi simplificați pentru a arăta egalitatea.
32 puncte
Găsiți elementul neutru ee rezolvând x∘e=xx \circ e = x pentru orice x∈Mx \in M; obțineți e=2e = 2 și verificați că 2∈M2 \in M și că 2∘x=x2 \circ x = x.
42 puncte
Pentru fiecare x∈Mx \in M, găsiți simetricul x′x' rezolvând x∘x′=2x \circ x' = 2; obțineți x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1} și verificați că x′∈Mx' \in M; demonstrați comutativitatea: x∘y=xy−x−y+2=y∘xx \circ y = xy - x - y + 2 = y \circ x.
51 punct
Rezolvați ecuația: calculați x∘x=x2−2x+2x \circ x = x^2 - 2x + 2, apoi (x∘x)∘x=(x2−2x+2)∘x=(x2−2x+2)x−(x2−2x+2)−x+2=x3−3x2+3x(x \circ x) \circ x = (x^2 - 2x + 2) \circ x = (x^2 - 2x + 2)x - (x^2 - 2x + 2) - x + 2 = x^3 - 3x^2 + 3x; egalați cu 8: x3−3x2+3x−8=0x^3 - 3x^2 + 3x - 8 = 0; factorizați sau rezolvați, obțineți x=2x = 2 (care este în MM) și verificați că celelalte rădăcini nu sunt în MM.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.