MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea numerelor reale ℝ se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Rx, y \in ℝ. Demonstrați că legea este comutativă și asociativă, determinați elementul neutru și elementele simetrizabile. Apoi, rezolvați în ℝ ecuația (a∗x)∗b=c(a * x) * b = c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in ℝ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, arătați că x∗y=x+y+xy=y+x+yx=y∗xx * y = x + y + xy = y + x + yx = y * x, deci legea este comutativă. \n
23 puncte
Pentru asociativitate, calculați (x∗y)∗z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x + y + xy) + z + (x + y + xy)z = x + y + z + xy + xz + yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z+yz)+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z + yz) + x(y + z + yz) = x + y + z + xy + xz + xyz, deci sunt egale, iar legea este asociativă. \n
32 puncte
Elementul neutru ee satisface x∗e=xx * e = x pentru orice xx, adică x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1+x) = 0, deci e=0e = 0. Verificați că 0∗x=x0 * x = x. \n
42 puncte
Un element x∈Rx \in ℝ este simetrizabil dacă există x′∈Rx' \in ℝ cu x∗x′=0x * x' = 0. Rezolvați x+x′+xx′=0⇒x′(1+x)=−xx + x' + xx' = 0 \Rightarrow x'(1+x) = -x. Pentru x≠−1x \neq -1, x′=−x1+xx' = -\frac{x}{1+x}; pentru x=−1x = -1, nu există simetric. \n
51 punct
Ecuația (a∗x)∗b=c(a * x) * b = c devine ((a+x+ax)+b+(a+x+ax)b)=c((a + x + ax) + b + (a + x + ax)b) = c. Simplificați: a+x+ax+b+ab+bx+abx=c⇒x(1+a+b+ab)=c−a−b−ab⇒x=c−a−b−ab1+a+b+aba + x + ax + b + ab + bx + abx = c \Rightarrow x(1 + a + b + ab) = c - a - b - ab \Rightarrow x = \frac{c - a - b - ab}{1 + a + b + ab}, cu verificarea că numitorul este nenul pentru anumiți a,ba, b.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.