MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea M={(a,b)∣a,b∈R}M = \{ (a,b) \mid a, b \in \mathbb{R} \} se definește operația ∗* prin (a,b)∗(c,d)=(ac,ad+bc)(a,b) * (c,d) = (ac, ad + bc), pentru orice (a,b),(c,d)∈M(a,b), (c,d) \in M. a) Demonstrați că operația ∗* este asociativă. b) Găsiți elementul neutru al operației ∗*. c) Determinați pentru care elemente (a,b)∈M(a,b) \in M există invers față de operația ∗*.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați ((a,b)∗(c,d))∗(e,f)=(ac,ad+bc)∗(e,f)=(ace,acf+(ad+bc)e)=(ace,acf+ade+bce)((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (ac, ad+bc) * (e,f) = (ace, acf + (ad+bc)e) = (ace, acf + ade + bce) și (a,b)∗((c,d)∗(e,f))=(a,b)∗(ce,cf+de)=(ace,a(cf+de)+bce)=(ace,acf+ade+bce)(a,b) * ((c,d) * (e,f)) = (a,b) * (ce, cf+de) = (ace, a(cf+de) + bce) = (ace, acf + ade + bce); arătați că sunt egale, deci operația este asociativă.
23 puncte
Căutați elementul neutru (e1,e2)(e_1, e_2) astfel încât (a,b)∗(e1,e2)=(a,b)(a,b) * (e_1, e_2) = (a,b); rezolvați (ae1,ae2+be1)=(a,b)(ae_1, ae_2 + be_1) = (a,b); din ae1=aae_1 = a, pentru orice aa, deduceți e1=1e_1 = 1; din ae2+b=bae_2 + b = b, pentru orice a,ba,b, deduceți e2=0e_2 = 0; verificați că (1,0)(1,0) este element neutru.
33 puncte
Pentru un element (a,b)(a,b), căutați inversul (a′,b′)(a',b') astfel încât (a,b)∗(a′,b′)=(1,0)(a,b) * (a',b') = (1,0); rezolvați (aa′,ab′+ba′)=(1,0)(aa', ab' + ba') = (1,0); din aa′=1aa' = 1, avem a′=1aa' = \frac{1}{a} dacă a≠0a \neq 0; din ab′+b1a=0ab' + b\frac{1}{a} = 0, rezultă b′=−ba2b' = -\frac{b}{a^2} dacă a≠0a \neq 0; dacă a=0a = 0, nu există invers. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.