MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea D=RD = \mathbb{R} și operația ∙\bullet definită prin x∙y=ax+by+cx \bullet y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sunt constante. a) Determinați condițiile pe a,b,ca, b, c pentru care ∙\bullet este comutativă. b) Determinați condițiile pentru care ∙\bullet este asociativă. c) Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, rezolvați în DD ecuația x∙x=0x \bullet x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru comutativitate, avem x∙y=y∙xx \bullet y = y \bullet x pentru orice x,y∈Dx, y \in D. Aceasta dă ax+by+c=ay+bx+c  ⟹  ax+by=ay+bx  ⟹  (a−b)x+(b−a)y=0ax + by + c = ay + bx + c \implies ax + by = ay + bx \implies (a-b)x + (b-a)y = 0 pentru orice x,yx,y. Rezultă că a−b=0a-b=0 și b−a=0b-a=0, deci a=ba=b.
24 puncte
Pentru asociativitate, calculăm (x∙y)∙z(x \bullet y) \bullet z și x∙(y∙z)x \bullet (y \bullet z). Avem (x∙y)∙z=(ax+by+c)∙z=a(ax+by+c)+bz+c=a2x+aby+bz+ac+c(x \bullet y) \bullet z = (ax + by + c) \bullet z = a(ax + by + c) + bz + c = a^2x + aby + bz + ac + c. Și x∙(y∙z)=x∙(ay+bz+c)=ax+b(ay+bz+c)+c=ax+aby+b2z+bc+cx \bullet (y \bullet z) = x \bullet (ay + bz + c) = ax + b(ay + bz + c) + c = ax + aby + b^2z + bc + c. Pentru ca acestea să fie egale pentru orice x,y,zx,y,z, coeficienții lui xx, yy, zz și termenul constant trebuie să coincidă. Comparând, obținem: a2=aa^2 = a, b=b2b = b^2, și ac+c=bc+cac + c = bc + c care se simplifică la ac=bcac = bc. Din a2=aa^2 = a, avem a=0a=0 sau a=1a=1. Din b=b2b = b^2, avem b=0b=0 sau b=1b=1. Dacă c=0c=0, condiția ac=bcac = bc este automat satisfăcută; dacă c≠0c \neq 0, atunci a=ba=b. Deci, pentru asociativitate, condițiile sunt: a∈{0,1}a \in \{0,1\}, b∈{0,1}b \in \{0,1\}, și dacă c≠0c \neq 0, atunci a=ba=b.
33 puncte
Pentru a=1,b=2,c=3a=1, b=2, c=3, operația este x∙y=x+2y+3x \bullet y = x + 2y + 3. Ecuația x∙x=0x \bullet x = 0 devine x+2x+3=0  ⟹  3x+3=0  ⟹  x=−1x + 2x + 3 = 0 \implies 3x + 3 = 0 \implies x = -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.