MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} definim legea de compoziție x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy. Studiați proprietățile acestei legi: a) Verificați dacă este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru ce valori ale lui x∈Zx \in \mathbb{Z} există simetricul în raport cu această operație? d) Rezolvați ecuația x∘2=3x \circ 2 = 3 în Z\mathbb{Z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, x∘y=x+y−xyx \circ y = x + y - xy și y∘x=y+x−yx=x+y−xyy \circ x = y + x - yx = x + y - xy, deci x∘y=y∘xx \circ y = y \circ x pentru orice x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z}. Operația este comutativă.\n
23 puncte
Pentru asociativitate, se calculează (x∘y)∘z(x \circ y) \circ z și x∘(y∘z)x \circ (y \circ z). (x∘y)∘z=(x+y−xy)∘z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y−xy+z−xz−yz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \circ y) \circ z = (x + y - xy) \circ z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y - xy + z - xz - yz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. x∘(y∘z)=x∘(y+z−yz)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyz=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx \circ (y \circ z) = x \circ (y + z - yz) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz = x + y + z - xy - xz - yz + xyz. Cele două expresii sunt egale, deci operația este asociativă.\n
33 puncte
Pentru element neutru, se caută e∈Ze \in \mathbb{Z} astfel încât x∘e=xx \circ e = x pentru orice xx. x∘e=x+e−xe=xx \circ e = x + e - xe = x, deci e−xe=0e - xe = 0, adică e(1−x)=0e(1 - x) = 0. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e=0. Verificăm: x∘0=x+0−x⋅0=xx \circ 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x și 0∘x=0+x−0⋅x=x0 \circ x = 0 + x - 0 \cdot x = x, deci elementul neutru este e=0e=0.\n
42 puncte
Pentru simetrice, fiecare element xx are simetric x′x' astfel încât x∘x′=0x \circ x' = 0. Din x∘x′=x+x′−xx′=0x \circ x' = x + x' - xx' = 0, rezultă x′(1−x)=−xx'(1 - x) = -x. Dacă x=1x=1, atunci 0⋅x′=−10 \cdot x' = -1, imposibil, deci pentru x=1x=1 nu există simetric. Pentru x≠1x \neq 1, x′=−x1−xx' = \frac{-x}{1 - x}. Pentru ca x′∈Zx' \in \mathbb{Z}, 1−x1-x trebuie să dividă −x-x. Analizând cazurile: dacă x=0x=0, x′=0x'=0; dacă x=2x=2, x′=−2−1=2x'=\frac{-2}{-1}=2; etc. În general, simetricul există pentru x∈Zx \in \mathbb{Z} cu x≠1x \neq 1 și 1−x1-x divizor al lui −x-x. Pentru partea d, ecuația x∘2=3x \circ 2 = 3 devine x+2−2x=3x + 2 - 2x = 3, adică −x+2=3-x + 2 = 3, deci −x=1-x = 1, x=−1x = -1. Verificare: −1∘2=−1+2−(−1)⋅2=1+2=3-1 \circ 2 = -1 + 2 - (-1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.