MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriSisteme de Ecuații Liniare
Fie operația ∘\circ definită pe Z\mathbb{Z} prin a∘b=a+b+5a \circ b = a + b + 5. a) Arătați că (Z,∘)(\mathbb{Z}, \circ) este un monoid comutativ. b) Determinați elementele inversabile și calculați inversul lui 33 în raport cu această operație. c) Rezolvați sistemul: {x∘y=10y∘z=15z∘x=20\begin{cases} x \circ y = 10 \\ y \circ z = 15 \\ z \circ x = 20 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificarea comutativității: a∘b=a+b+5=b+a+5=b∘aa \circ b = a + b + 5 = b + a + 5 = b \circ a. Asociativitatea: (a∘b)∘c=(a+b+5)∘c=(a+b+5)+c+5=a+b+c+10(a \circ b) \circ c = (a + b + 5) \circ c = (a + b + 5) + c + 5 = a + b + c + 10 și a∘(b∘c)=a∘(b+c+5)=a+(b+c+5)+5=a+b+c+10a \circ (b \circ c) = a \circ (b + c + 5) = a + (b + c + 5) + 5 = a + b + c + 10, deci este asociativă.
23 puncte
Găsirea elementului neutru ee: a∘e=a  ⟹  a+e+5=a  ⟹  e=−5a \circ e = a \implies a + e + 5 = a \implies e = -5. Verificare: a∘(−5)=a+(−5)+5=aa \circ (-5) = a + (-5) + 5 = a, deci −5-5 este element neutru.
32 puncte
Elementul aa este inversabil dacă există bb astfel încât a∘b=−5  ⟹  a+b+5=−5  ⟹  b=−a−10a \circ b = -5 \implies a + b + 5 = -5 \implies b = -a - 10. Pentru a=3a=3, inversul este b=−3−10=−13b = -3 - 10 = -13.
42 puncte
Rezolvarea sistemului: x∘y=x+y+5=10x \circ y = x + y + 5 = 10, y∘z=y+z+5=15y \circ z = y + z + 5 = 15, z∘x=z+x+5=20z \circ x = z + x + 5 = 20. Din prima ecuație, x+y=5x + y = 5; din a doua, y+z=10y + z = 10; din a treia, z+x=15z + x = 15. Adunând, 2(x+y+z)=30  ⟹  x+y+z=152(x + y + z) = 30 \implies x + y + z = 15. Scăzând, obținem z=10z = 10, x=5x = 5, y=0y = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.