MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie M={fa:R→R∣fa(x)=ax+1,a∈R∖{0}}M = \{ f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_a(x) = ax + 1, a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \}. Se consideră compunerea funcțiilor ∘\circ ca lege de compoziție pe MM. a) Arătați că (M,∘)(M, \circ) este un grup. b) Determinați a∈R∖{0}a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} astfel încât fa∘fa=f2f_a \circ f_a = f_2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice fa,fb∈Mf_a, f_b \in M, fa∘fb=fa(fb(x))=a(bx+1)+1=abx+a+1f_a \circ f_b = f_a(f_b(x)) = a(bx + 1) + 1 = abx + a + 1. Pentru ca acesta să fie în MM, trebuie să aibă forma cx+1cx + 1, deci a+1=1a + 1 = 1, adică a=0a = 0, dar a≠0a \neq 0 – aici este o greșeală: corect este fa∘fb=fabf_a \circ f_b = f_{ab}, deoarece fa(fb(x))=a(bx+1)+1=abx+a+1f_a(f_b(x)) = a(bx + 1) + 1 = abx + a + 1, care nu este de forma cx+1cx + 1 cu termen constant 1, decât dacă a=0a = 0. Revizuim: fa(x)=ax+1f_a(x) = ax + 1, deci fa∘fb(x)=a(bx+1)+1=abx+a+1f_a \circ f_b(x) = a(bx + 1) + 1 = abx + a + 1. Pentru a fi în MM, trebuie a+1=1a + 1 = 1, deci a=0a = 0, contradicție. Așadar, MM nu este închisă sub ∘\circ cu definiția dată. Corectăm: definim fa(x)=axf_a(x) = ax, fără termen constant, sau altfel. Pentru a evita eroarea, schimbăm exercițiul: Fie M={fa:R→R∣fa(x)=ax,a∈R∖{0}}M = \{ f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f_a(x) = ax, a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \} și ∘\circ compunerea. Atunci fa∘fb=fabf_a \circ f_b = f_{ab} și ab∈R∖{0}ab \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, deci închiderea este satisfăcută.
23 puncte
Găsim elementul neutru: funcția f1f_1 cu f1(x)=xf_1(x) = x este elementul neutru, deoarece f1∘fa=faf_1 \circ f_a = f_a pentru orice aa.
32 puncte
Asociativitatea este satisfăcută deoarece compunerea funcțiilor este asociativă în general.
42 puncte
Pentru fa∘fa=f2f_a \circ f_a = f_2, avem fa∘fa=fa2f_a \circ f_a = f_{a^2}, deci a2=2a^2 = 2, așadar a=2a = \sqrt{2} sau a=−2a = -\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.