MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuri
Fie ∗* o lege de compoziție pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=ax+by+cx*y = ax + by + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} sunt constante. Determinați condițiile pe a,b,ca, b, c pentru care operația ∗* este: a) comutativă; b) asociativă; c) are element neutru; d) orice element are simetric.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Pentru comutativitate, se cere x∗y=y∗xx*y = y*x pentru orice x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Din x∗y=ax+by+cx*y = ax + by + c și y∗x=ay+bx+cy*x = ay + bx + c, egalitatea implică (a−b)(x−y)=0(a-b)(x-y) = 0, deci a=ba = b. Condiția: a=ba = b.\n
23 puncte
Pentru asociativitate, se verifică (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z). Calculăm (x∗y)∗z=(ax+by+c)∗z=a(ax+by+c)+bz+c=a2x+aby+ac+bz+c(x*y)*z = (ax + by + c)*z = a(ax + by + c) + bz + c = a^2 x + ab y + ac + bz + c și x∗(y∗z)=x∗(ay+bz+c)=ax+b(ay+bz+c)+c=ax+aby+b2z+bc+cx*(y*z) = x*(ay + bz + c) = ax + b(ay + bz + c) + c = ax + ab y + b^2 z + bc + c. Egalitatea pentru orice x,y,zx,y,z implică a2=aa^2 = a, ab=abab = ab, ac+bz=b2z+bcac + bz = b^2 z + bc, deci a(a−1)=0a(a-1)=0 și pentru zz variabil, b=b2b = b^2 și ac=bcac = bc. Din a=ba = b (de la pasul 1), obținem a(a−1)=0a(a-1)=0 și a=a2a = a^2, deci a=0a=0 sau a=1a=1. Dacă a=0a=0, atunci b=0b=0 și ac=bcac=bc devine 0=00=0. Dacă a=1a=1, atunci b=1b=1 și ac=bcac=bc devine c=cc=c. Condiții: a=ba=b și a∈{0,1}a \in \{0,1\}.\n
33 puncte
Pentru element neutru, se caută e∈Re \in \mathbb{R} astfel încât x∗e=e∗x=xx*e = e*x = x pentru orice xx. Din x∗e=ax+be+c=xx*e = ax + be + c = x și e∗x=ae+bx+c=xe*x = ae + bx + c = x, folosind a=ba=b (de la pasul 1), obținem ax+ae+c=xax + ae + c = x și ae+ax+c=xae + ax + c = x, deci ae+c=0ae + c = 0 și ax+ae+c=xax + ae + c = x. Pentru xx variabil, a=1a=1 și ae+c=0ae + c = 0, deci e=−ce = -c. Dacă a=0a=0, atunci din 0x+0e+c=x0x + 0e + c = x implică c=xc=x, imposibil pentru orice xx, deci nu există element neutru dacă a=0a=0. Condiție: a=b=1a=b=1 și e=−ce = -c.\n
42 puncte
Pentru simetrice, fiecare element xx are simetric x′x' astfel încât x∗x′=ex*x' = e, cu e=−ce = -c și a=b=1a=b=1. Atunci x∗x′=x+x′+c=−cx*x' = x + x' + c = -c, deci x′=−x−2cx' = -x - 2c. Simetricul există pentru orice xx dacă a=b=1a=b=1. În concluzie, condițiile sunt: pentru comutativitate a=ba=b; pentru asociativitate a=ba=b și a∈{0,1}a \in \{0,1\}; pentru element neutru a=b=1a=b=1; pentru simetrice a=b=1a=b=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.