MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Fie legea de compoziție ⋆\star definită pe mulțimea A={x∈R∣x≠−1}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} prin x⋆y=x+y1+xyx \star y = \frac{x+y}{1+xy} pentru orice x,y∈Ax, y \in A. Să se studieze următoarele proprietăți ale legii ⋆\star: comutativitatea, asociativitatea, existența elementului neutru și determinarea elementelor simetrizabile. Apoi, să se rezolve în AA ecuația x⋆2=3x \star 2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea comutativității: x⋆y=y⋆xx \star y = y \star x pentru orice x,y∈Ax, y \in A.\n
23 puncte
Verificarea asociativității: (x⋆y)⋆z=x⋆(y⋆z)(x \star y) \star z = x \star (y \star z) pentru orice x,y,z∈Ax, y, z \in A.\n
32 puncte
Determinarea elementului neutru ee astfel încât x⋆e=e⋆x=xx \star e = e \star x = x pentru orice x∈Ax \in A.\n
42 puncte
Găsirea elementelor simetrizabile: pentru fiecare x∈Ax \in A, determinarea x′x' astfel încât x⋆x′=x′⋆x=ex \star x' = x' \star x = e.\n
51 punct
Rezolvarea ecuației x⋆2=3x \star 2 = 3 folosind proprietățile demonstrate.\nTotal: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.